Sabemos que el dominio de las funciones exponenciales son todos los reales. Es importante que lo recuerdes. Hallemos el conjunto de ceros: $ -2 e^{x}+1=0 $ $-2 e^{x}=-1 $ $e^{x}=\frac{1}{2} $ 

$x=\ln \left(\frac{1}{2}\right)$ 

• $C^{0} = \ln \left(\frac{1}{2}\right)$ 

  Por cierto, $\ln \left(\frac{1}{2}\right) \approx -0,693...$, pero es mejor dejarlo escrito de la primera forma y nunca en número decimal (a tus profes no les gusta).

Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad: Conociendo el conjunto de ceros y el dominio de la función podemos usar Bolzano. Como $C^{0} = \ln \left(\frac{1}{2}\right)$ , eso significa que la función cruza al eje $x$ una vez, es decir que tendremos que dividir el dominio y evaluar para los dos intervalos: $(-\infty, \ln\left(\frac{1}{2}\right))$  y  $(\ln\left(\frac{1}{2}\right), +\infty)$ es decir, es totalmente positiva o totalmente negativa.

Tomamos un valor cualquiera dentro del primer intervalo y evaluamos la función: $f(-1)=-2 e^{-1}+1=0,2642 $

Hacemos lo mismo para el segundo intervalo:

$f(0)=-2 e^{0}+1=-1$

Por lo tanto nos queda: • $C^{+} = (-\infty, \ln\left(\frac{1}{2}\right))$  

• $C^{-} = (\ln\left(\frac{1}{2}\right), +\infty)$  Hallemos la imagen, calculando su función inversa y calculando su dominio: $ \begin{gathered} -2 e^{x}+1=y \\ -2 e^{x}=y-1 \\ e^{x}=\frac{y-1}{-2} \\ x=\ln \left(\frac{y-1}{-2}\right) \\ y^{-1}=\ln \left(\frac{x-1}{-2}\right) \end{gathered} $ Para hallar su dominio, analizamos el argumento. $ \begin{gathered} \frac{x-1}{-2}>0 \\ x-1<0 \\ x<1 \end{gathered} $ $Domf^{-1} = (-\infty ; 1)$ 

• $Imf =(-\infty ; 1)$  Asíntotas verticales: No hay, ya que no hay valores restringidos del dominio. • No hay AV Asintotas Horizontales:

$ \lim _{x \rightarrow \infty}-2 e^{x}+1=-\infty $ Vemos que por el lado de infinito positivo no hay asintota. Sin embargo, por el lado de infinito negativo, tenemos asintota horizontal: $\lim _{x \rightarrow-\infty}-2 e^{x}+1$ $\rightarrow \lim _{x \rightarrow-\infty}-2\left(e^{-\infty}\right)+1=-2\left(\frac{1}{e^{\infty}}\right)+1=-2\left(\frac{1}{\infty}\right)+1=-2(0)+1=1$

 • Hay AH en $y=1$ por izquierda

La gráfica nos quedaría así: